Miller : parquetri

Comme l'artiste M. C. Escher, on peut déformer le losange de manière que deux tuiles quelconques (en orange ci-contre, et là) restent en bijection par l'une des isométries préservant le pavage (le pavage monoédrique reste isoédrique). Au lieu de déformer continûment les côtés du losanges en une courbe, je déforme ici récursivement les côtés du losange en une certaine côte fractale qui est le contour de mon motif parquetri (en violet sur fond orange ci-contre, cliquer pour agrandir). Sous le nom ‘fractal’ tiles, un article du Guardian donne trois exemples de déformations du pavage carré par des côtes fractales. Pour approfondir, voir Escherization et Parquet Deformations par Craig Kaplan.

Métamorphose à la Escher de la tuile parquetri. Page 2, la grille losange est superposée à sa déformation fractale (autre palette de couleurs).
Métamorphose arc-en-ciel de la grille parquetri superposée au pavage losange (une couleur par orientation de la côte fractale).
Les parquets d'ordre 1 à 7 (ici en arrière plan, à l'ordre 3). En plus du zoom de votre navigateur, des boutons changent l'échelle exponentiellement.
Evolution du parquet sur 6 pages. Le squelette du parquet divise les losanges chauds et enserre les losanges froids.
Evolution du rhombille sur 6 pages. Les losanges froids et chauds qui composent chaque tuile de parquetri forment aussi un rhombille.
Superposition du parquet au pavage losange dont il conserve les symétries de rotation, mais pas les symétries de réflexion.
Définition du système de Lindemayer que j'appelle parquetri et assemblage de ses tuiles qui déforment le losange en conservant sa superficie.
Six tuiles de parquetri forment une maille rectangulaire déformée (grisée) qui se translate perpendiculairement selon une grille infinie.
Le parquet trace un pas sur deux d'un chemin qui joint les deux extrêmités de la tuile et passe une fois par chaque arrête d'un pavage triangulaire.

Cinq tuiles d'Escher partagent avec mon motif parquetri son groupe de symétrie 632, en notation orbifold de Conway, mais pas son type isoédrique IH 34, dans la classification de Grünbaum & Shephard :

Flying Fish (Regular division of the plane №99), 1954 et Fish, vignette, wood engraving, 1954. Le poisson est de type IH88 sans la couleur, mais deux poissons en sens inverse forment une tuile bicolore de type IH34 sans la couleur (groupe de symétrie 333 et type IH33 avec la couleur) :

Flying Fish (Regular division of the plane №99), 1954

Stilized Flying Fish

de marbrerie et de marqueterie

Fish (№94), 1955, watercolor (IH88, même analyse de la tuile bicolore).
Two Fish (№57), 1942, ink, watercolor (tuile formée de 2 poissons de formes différentes IH21, 4 poissons IH34 par symétrie centrale).
Fish (№55), 1942, ink, watercolor (IH31, deux poissons forment une tuile losange déformée dégénérée d'une couleur par direction).
Lizard (№56), 1942, india ink, gold ink, colored pencil, poster paint (idem, voir cadre suivant).

M. C. Escher, Lizard (№56, source : wikiart). La cellule fondamentale est un lézard (IH31). Par la symétrie centrée à la pointe de la queue, on obtient une tuile losange déformée dégénérée (une couleur de tuile par direction) :

Le rhombille apparait dans les trois versions de Metamorphosis, woodcut :